5.1.3 ANOVA Formulas for Two-factor design

5.1.3 ANOVA Formulas for Two-factor design

Two factor 아노바(이하 이원분산분석으로 칭함)에서는 2개의 독립변수로 구분되는 집단내에 복수의 관측치가 있는 경우에만 가능하다. 즉 상호작용효과를 분석하기 위해서는 2개의 요인들에 의해서 구분되는 세분화된 집단 내에 2개 이상의 관측치가 존재해야 한다는 말이다. 

“j”는 row(행)
“k”는 column(열)
“i”는 individual(관측치)

주효과와 상호작용효과 검정이 가능한 이원분산분석에서의 관측치는 p126의 2a로 표현이가능하다.
2a의 식에서 Y ̅(전체평균)를 좌변으로 이항시켜주면 관측치 Y_ijk에서 전체평균Y ̅를 뺀값은 총편차이다.

(Y_ijk-Y ̅) 총편차 
= ((Y_(j.) ) ̅-Y ̅) 요인j에 의한 편차(요인j의 주효과)
+ ((Y_(.k) ) ̅-Y ̅) 요인k에 의한 편차(요인k의 주효과)
+ (Y ̅ -(Y_(j.) ) ̅-(Y_(.k) ) ̅+(Y_jk ) ̅) 요인j와 요인k의 상호작용에 의한 편차(요인j와 요인k의 상호작용효과)
+ (Y_ijk-(Y_jk ) ̅) 요인j와 요인k에 의해 설명되지 않는 집단 내 편차(오차)

이 값을 Sums of Squares로 나타내면 아래와 같다.

SS_A (요인j에 의한 제곱합)= nb∑_(j=1)^a▒〖((Y_(j.) ) ̅-Y ̅)〗^2 
SS_B (요인k에 의한 제곱합)= na∑_(k=1)^b▒〖((Y_(.k) ) ̅-Y ̅)〗^2 
SS_AB (요인j와k에 의한 제곱합)= n∑_(j=1)^a▒∑_(k=1)^b▒((Y_jk ) ̅-(Y_(j.) ) ̅-(Y_(.k) ) ̅+Y ̅ ) ^2 
SS_error (오차제곱합)=∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^a▒∑_(k=1)^b▒〖(Y_ijk-Y ̅_jk)〗^2 

SS_total(총제곱합)=SS_A+SS_B+SS_AB+SS_error로 산출 가능하다.

지난 시간 sums of squares를 산출 했던것과 똑같은 방식으로 sums of squares를 산출한다.
SS_A와 SS_B , SS_AB를 산출하는 모든 형식이 3장과 동일하다.( 3장에서는 SS를 between값과 within값을 산출했었다.)
이 장에서는 주효과와 상호효과까지 보는 것이므로 SS_AB까지 함께 산출하는 데 의의가 있다.
그리고 이 값을 평균제곱으로 산출하는 과정 역시 3장과 동일하다. 자유도로 나눠주면 된다.
이 모든 과정 역시 3장과 동일하다.
127쪽의 4a부터 4e까지 모든 수식이 동일하게 산출된다.

이와 같은 요인설계를 통한 변량분석은 다음과 같은 여러가지 요소의 변량값과 오차변량값을 비교한 F ratio를 통해서 얼마나 유의한지를 검증하는 과정이다.
F ratio를 도출하는 과정은 MS(평균제곱)값을 잔차평균제곱으로 나누어 산출하고 그 수식은 127쪽의 5a부터 5ab까지로 나타난다.
이 F ratio들은 3개의 귀무가설을 테스트 한다.
6a부터 6ab까지의 가설들은 평균값의 변화가 없다는 귀무가설이다.
각각의 주효과들에 대해서 설명하고 있다.
7a부터 7ab까지는 변량값의 변화로 나타낸 귀무가설들이다. aj(행의 평균값의 변량)과 βk(열의 평균값의 변량)이 모두 0이라는 것, (αβ)jk(두 변인 사이의 상호작용 변량)역시 0이라고 말하고 있다.
6a의 귀무가설이 성립되면 7a의 귀무가설도 성립되고
6b의 귀무가설이 성립되면 7b역시 성립되는 형식으로 비교가능하다.


Three rules for degree of freedom
1) 주효과에서는 수준의 갯수에서 하나를 빼주면 된다.
2) 상호작용제곱합에서의 자유도는 각 요인별 자유도를 서로 곱하여 구한값이 된다.
3) 오차제곱합의 자유도는 각각의 요인에 의하여 구분되는 각각의 집단별 관측치에서 1을 빼준값을 더한다.

주효과와 상호작용효과 검정이 가능한 이원분산분석에서의 자유도는 다음과 같다.
SS_total(총제곱합)
=SS_A
+SS_B
+SS_AB
+SS_error ①전체 관측치의 수에서 1을 뺀다.
②요인j에 의해 구분되는 집단의 수에서 1을 빼준다.
③요인k에 의해 구분되는 집단의 수에서 1을 빼준다.
②와 ③을 곱해준다.


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