2요인 분산분석 (이원배치분산분석)

5.1.2 ANOVA MODEL FOR TWO-FACTOR DESIGN

 

*** 2요인 분산분석 (또는, 이원배치분산분석)에 대한 수식 설명을 하는 파트입니다.

 

요인설계는 독립변인의 영향을 효과적으로 조사하기 위해 설계되는 것이다. 단일요인 분산분석에서는 한 가지 인자만을 고려하였지만 2요인 분산분석은 인자가 2개인 경우의 분산분석을 의미한다. 예를들어, 3x3설계의 경우 2개의 요인이 각각 3개의 수준을 갖고 있음을 의미한다. 2요인 분산분석은 처리효과를 보다 순수하게 파악하게 하기 위하여 다른 인자를 통제하는 목적으로 사용될 수 있으며, 두 인자가 모든 실험의 관심이 되는 효과이기 때문에 사용할 수 도 있다. 이러한 요인설계에서는 주효과가 두드러지지 않을 때, 두 변인의 교호효과(additive effect; 또는 상호작용 효과)가 더 괄목할 만 하다.

 [그림 5-2]에서처럼 네 수준(B1,B2,B3,B4)으로 변함에 따라 세 수준(REAL, CLOTH, WIRE)의 값이 점점 증가되는 것을 알 수 있다. 여기서 B의 주효과는 열(세로줄)의 평균이고, A의 주효과는 행(가로줄)의 평균이다. 그렇다면, B의 효과가 A수준에 따라 달라지는가? 에 대한 질문에 A와 B가   교호효과를 가진다고 말할 수 있다. [그림 5-2]의 그래프에서 볼 수 있듯이 세 수준이 모두 유사한 패턴을 보이며, 가로열의 세 개의 평균을 보아도 B의 효과 또한 같은 패턴을 보이기 때문이다.

 

Conceptual ANOVA Model: 단일요인 분산분석과 유사하게,

 

[cell의 평균(각 집단간의 변량)=행의 효과(행의 변량)+열의 효과(열의 변량)]

 

로 나타낸다.  하지만 2요인 분산분석의 경우 단일 분산분석과 다르게 열과 행의 변동을 설명한 후, 각 셀의 평균값에 남아 있는 변동을 반영한다.

 

→ [cell의 평균=행의 효과+ 열의 효과+잔차(상호작용의 변량)]

 

따라서, 여기에 잔차(즉, 상호작용의 변량)과 오차(즉, 집단내 변량)을 더 해주어 최종적으로 전체변량을 구할 수 있다.

 

[ Individual response =cell의 평균(각 집단간의 변량) + 오차(집단내 변량) ]

 

Population Model

앞의 모델이 막대-점 표기법을 사용한 대수적 모델이었다면, Ujk(뮤)는 j행과 k열의 jk셀에 평균을 의미한다. 또한 U

는 j행의 모든 Ujk값의 평균을 의미하며, 이는 U

j가 j행의 행 평균을 말하는 것이다. 아래 수식은 전시간에 배운 ANOVA Population Model 에서 처럼, Yijk는 jk셀에서 각 개인이 별 i값과 eijk는 오차를 의미한다. 

Yijk = Ujk + eijk

이것을 전체적인 수식으로 나타내면, 전체평균에 행과 열의 합 그리고 잔차와 오차를 더한 (1a)로 나타낼 수 있다.

 

Residual & Error

(1a)식을 보시면,

각 셀의 잔차를 구하려면, 셀 평균값에서 행의 변량과 열의 변량을 뺀 후 에 구할 수 있다.

또한 오차는 각 집단내에 속해 있는 점수들이 그 집단 평균으로부터 이탈된 정도를 측정하면 된다.

 

Deviation score

 

                Yijk = U+

αj+βk+(αβ)jk+ eijk                                     -(1b)

 

여기서 αj는 행의 평균값의 변량을 의미라고, βk는 열의 평균값의 변량을 말한다. 또한, (αβ)jk 는 두 변인 사이의 상호작용 변량이며, eijk는 집단내 변량을 말한다. 결국 이 모든 것을 합친 값을 Yijk 라고 함 (앞에 설명된 내용과 같음)

 

Sample Model

 

앞의 (1a)공식에서 설명된 Population Model에서 U(뮤)를 Y로 바꾼 것뿐이다. Sample Model에서의  (1a)공식을 변형해 보면, (2a)와 같다. 이 Sample Model을 축소된 형태로 고쳐보면(2b), 위에 “hat”을 씌운다. 여기서 “hat”은 샘플의 추정값을 의미하는 것으로, 이를 통해 실제 효과를 추정해 볼 수 있다.

 

 

5.1.2 ANOVA MODEL FOR TWO-FACTOR DESIGN

 

*** 2요인 분산분석 (또는, 이원배치분산분석)에 대한 수식 설명을 하는 파트입니다.

 

요인설계는 독립변인의 영향을 효과적으로 조사하기 위해 설계되는 것이다. 단일요인 분산분석에서는 한 가지 인자만을 고려하였지만 2요인 분산분석은 인자가 2개인 경우의 분산분석을 의미한다. 예를들어, 3x3설계의 경우 2개의 요인이 각각 3개의 수준을 갖고 있음을 의미한다. 2요인 분산분석은 처리효과를 보다 순수하게 파악하게 하기 위하여 다른 인자를 통제하는 목적으로 사용될 수 있으며, 두 인자가 모든 실험의 관심이 되는 효과이기 때문에 사용할 수 도 있다. 이러한 요인설계에서는 주효과가 두드러지지 않을 때, 두 변인의 교호효과(additive effect; 또는 상호작용 효과)가 더 괄목할 만 하다.

 [그림 5-2]에서처럼 네 수준(B1,B2,B3,B4)으로 변함에 따라 세 수준(REAL, CLOTH, WIRE)의 값이 점점 증가되는 것을 알 수 있다. 여기서 B의 주효과는 열(세로줄)의 평균이고, A의 주효과는 행(가로줄)의 평균이다. 그렇다면, B의 효과가 A수준에 따라 달라지는가? 에 대한 질문에 A와 B가   교호효과를 가진다고 말할 수 있다. [그림 5-2]의 그래프에서 볼 수 있듯이 세 수준이 모두 유사한 패턴을 보이며, 가로열의 세 개의 평균을 보아도 B의 효과 또한 같은 패턴을 보이기 때문이다.

 

Conceptual ANOVA Model: 단일요인 분산분석과 유사하게,

 

[cell의 평균(각 집단간의 변량)=행의 효과(행의 변량)+열의 효과(열의 변량)]

 

로 나타낸다.  하지만 2요인 분산분석의 경우 단일 분산분석과 다르게 열과 행의 변동을 설명한 후, 각 셀의 평균값에 남아 있는 변동을 반영한다.

 

→ [cell의 평균=행의 효과+ 열의 효과+잔차(상호작용의 변량)]

 

따라서, 여기에 잔차(즉, 상호작용의 변량)과 오차(즉, 집단내 변량)을 더 해주어 최종적으로 전체변량을 구할 수 있다.

 

[ Individual response =cell의 평균(각 집단간의 변량) + 오차(집단내 변량) ]

 

Population Model

앞의 모델이 막대-점 표기법을 사용한 대수적 모델이었다면, Ujk(뮤)는 j행과 k열의 jk셀에 평균을 의미한다. 또한 U

는 j행의 모든 Ujk값의 평균을 의미하며, 이는 U

j가 j행의 행 평균을 말하는 것이다. 아래 수식은 전시간에 배운 ANOVA Population Model 에서 처럼, Yijk는 jk셀에서 각 개인이 별 i값과 eijk는 오차를 의미한다. 

Yijk = Ujk + eijk

이것을 전체적인 수식으로 나타내면, 전체평균에 행과 열의 합 그리고 잔차와 오차를 더한 (1a)로 나타낼 수 있다.

 

Residual & Error

(1a)식을 보시면,

각 셀의 잔차를 구하려면, 셀 평균값에서 행의 변량과 열의 변량을 뺀 후 에 구할 수 있다.

또한 오차는 각 집단내에 속해 있는 점수들이 그 집단 평균으로부터 이탈된 정도를 측정하면 된다.

 

Deviation score

 

                Yijk = U+

αj+βk+(αβ)jk+ eijk                                     -(1b)

 

여기서 αj는 행의 평균값의 변량을 의미라고, βk는 열의 평균값의 변량을 말한다. 또한, (αβ)jk 는 두 변인 사이의 상호작용 변량이며, eijk는 집단내 변량을 말한다. 결국 이 모든 것을 합친 값을 Yijk 라고 함 (앞에 설명된 내용과 같음)

 

Sample Model

 

앞의 (1a)공식에서 설명된 Population Model에서 U(뮤)를 Y로 바꾼 것뿐이다. Sample Model에서의  (1a)공식을 변형해 보면, (2a)와 같다. 이 Sample Model을 축소된 형태로 고쳐보면(2b), 위에 “hat”을 씌운다. 여기서 “hat”은 샘플의 추정값을 의미하는 것으로, 이를 통해 실제 효과를 추정해 볼 수 있다.

 

 

5.1.2 ANOVA MODEL FOR TWO-FACTOR DESIGN

 

*** 2요인 분산분석 (또는, 이원배치분산분석)에 대한 수식 설명을 하는 파트입니다.

 

요인설계는 독립변인의 영향을 효과적으로 조사하기 위해 설계되는 것이다. 단일요인 분산분석에서는 한 가지 인자만을 고려하였지만 2요인 분산분석은 인자가 2개인 경우의 분산분석을 의미한다. 예를들어, 3x3설계의 경우 2개의 요인이 각각 3개의 수준을 갖고 있음을 의미한다. 2요인 분산분석은 처리효과를 보다 순수하게 파악하게 하기 위하여 다른 인자를 통제하는 목적으로 사용될 수 있으며, 두 인자가 모든 실험의 관심이 되는 효과이기 때문에 사용할 수 도 있다. 이러한 요인설계에서는 주효과가 두드러지지 않을 때, 두 변인의 교호효과(additive effect; 또는 상호작용 효과)가 더 괄목할 만 하다.

 [그림 5-2]에서처럼 네 수준(B1,B2,B3,B4)으로 변함에 따라 세 수준(REAL, CLOTH, WIRE)의 값이 점점 증가되는 것을 알 수 있다. 여기서 B의 주효과는 열(세로줄)의 평균이고, A의 주효과는 행(가로줄)의 평균이다. 그렇다면, B의 효과가 A수준에 따라 달라지는가? 에 대한 질문에 A와 B가   교호효과를 가진다고 말할 수 있다. [그림 5-2]의 그래프에서 볼 수 있듯이 세 수준이 모두 유사한 패턴을 보이며, 가로열의 세 개의 평균을 보아도 B의 효과 또한 같은 패턴을 보이기 때문이다.

 

Conceptual ANOVA Model: 단일요인 분산분석과 유사하게,

 

[cell의 평균(각 집단간의 변량)=행의 효과(행의 변량)+열의 효과(열의 변량)]

 

로 나타낸다.  하지만 2요인 분산분석의 경우 단일 분산분석과 다르게 열과 행의 변동을 설명한 후, 각 셀의 평균값에 남아 있는 변동을 반영한다.

 

→ [cell의 평균=행의 효과+ 열의 효과+잔차(상호작용의 변량)]

 

따라서, 여기에 잔차(즉, 상호작용의 변량)과 오차(즉, 집단내 변량)을 더 해주어 최종적으로 전체변량을 구할 수 있다.

 

[ Individual response =cell의 평균(각 집단간의 변량) + 오차(집단내 변량) ]

 

Population Model

앞의 모델이 막대-점 표기법을 사용한 대수적 모델이었다면, Ujk(뮤)는 j행과 k열의 jk셀에 평균을 의미한다. 또한 U

는 j행의 모든 Ujk값의 평균을 의미하며, 이는 U

j가 j행의 행 평균을 말하는 것이다. 아래 수식은 전시간에 배운 ANOVA Population Model 에서 처럼, Yijk는 jk셀에서 각 개인이 별 i값과 eijk는 오차를 의미한다. 

Yijk = Ujk + eijk

이것을 전체적인 수식으로 나타내면, 전체평균에 행과 열의 합 그리고 잔차와 오차를 더한 (1a)로 나타낼 수 있다.

 

Residual & Error

(1a)식을 보시면,

각 셀의 잔차를 구하려면, 셀 평균값에서 행의 변량과 열의 변량을 뺀 후 에 구할 수 있다.

또한 오차는 각 집단내에 속해 있는 점수들이 그 집단 평균으로부터 이탈된 정도를 측정하면 된다.

 

Deviation score

 

                Yijk = U+

αj+βk+(αβ)jk+ eijk                                     -(1b)

 

여기서 αj는 행의 평균값의 변량을 의미라고, βk는 열의 평균값의 변량을 말한다. 또한, (αβ)jk 는 두 변인 사이의 상호작용 변량이며, eijk는 집단내 변량을 말한다. 결국 이 모든 것을 합친 값을 Yijk 라고 함 (앞에 설명된 내용과 같음)

 

Sample Model

 

앞의 (1a)공식에서 설명된 Population Model에서 U(뮤)를 Y로 바꾼 것뿐이다. Sample Model에서의  (1a)공식을 변형해 보면, (2a)와 같다. 이 Sample Model을 축소된 형태로 고쳐보면(2b), 위에 “hat”을 씌운다. 여기서 “hat”은 샘플의 추정값을 의미하는 것으로, 이를 통해 실제 효과를 추정해 볼 수 있다.

 

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